Как находить арифметическую прогрессию примеры. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Содержание
  1. Арифметическая и геометрическая прогрессии
  2. Числовые последовательности (основные понятия)
  3. Арифметическая прогрессия
  4. Геометрическая прогрессия
  5. Алгебра. Урок 6. Прогрессии
  6. Числовые последовательности
  7. Самая удобная и увлекательная подготовка к ЕГЭ
  8. Задачи на скидки:
  9. Задачи на смеси и сплавы
  10. Задачи на сложные проценты
  11. Как найти арифметическую прогрессию? Арифметическая прогрессия примеры с решением
  12. Что собой представляет арифметическая прогрессия?
  13. Важные формулы
  14. Пример №1: нахождение неизвестного члена
  15. Пример №2: разность прогрессии
  16. Пример №3: составление прогрессии
  17. Пример №4: первый член прогрессии
  18. Пример №5: сумма
  19. Пример №6: сумма членов от n до m
  20. Некоторые советы при решении задач с арифметической прогрессией
  21. Арифметическая прогрессия, формула суммы элементов, разности, произведения, примеры с решением, чем отличается от геометрической
  22. Определение и примеры арифметической прогрессии
  23. Виды арифметической (алгебраической) прогрессии
  24. Формулы арифметической прогрессии
  25. Примеры задач с решением
  26. Пример 1
  27. Пример 2
  28. Пример 3

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Как находить арифметическую прогрессию примеры. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Числовые последовательности (основные понятия)

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Связь арифметической и геометрической прогрессий

Числовые последовательности (основные понятия)

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число an, то говорят, что задано числовую последовательность:

a1, a2, a3, . . . , an, . . .  .

Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.

Число a1 называют первым членом последовательности, число a2 — вторым членом последовательности, число a3 — третьим и так далее. Число an называют n-м членом последовательности, а натуральное число n — его номером.

Из двух соседних членов an и an+1 последовательности член an+1 называют последующим (по отношению к an), а an — предыдущим (по отношению к an+1).

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена, то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности  по его номеру.

► Например,

последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой

an = 2n –1,

а последовательность чередующихся 1 и –1 — формулой

bn = (–1)n+1. ◄        

Последовательность можно определить рекуррентной формулой, то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.

► Например,

если  a1 = 1,  а  an+1 = an + 5, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

a1 = 1,

a2 = a1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a3 = a2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a4 = a3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a5 = a4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Если  а1 = 1,  а2 = 1,  an+2 = an + an+1,  то первые семь членов числовой последовательности устанавливаем следующим образом:

a1 = 1,

a2 = 1,

a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2,

a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3,

a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5,

a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8,

a7 = a5 + a6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последовательности могут быть конечными и бесконечными.

Последовательность называется конечной, если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной, если она имеет бесконечно много членов.

► Например,

последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

конечная.

Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

бесконечная. ◄

Последовательность называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.

Последовательность называют убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.

► Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — возрастающая последовательность;

1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . , 1/n, . . . — убывающая последовательность. ◄

Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью. 

Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

Иначе,

a1, a2, a3,  . . .  , an, . . .

является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

an+1 = an + d,

где  d — некоторое число.

Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

а2 – a1 = а3 – a2 = . . . = an+1 – an = d.

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.

► Например,

если  a1 = 3,  d = 4, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

a1 =3,

a2 = a1 + d = 3 + 4 = 7,

a3 = a2 + d = 7 + 4 = 11,

a4 = a3 + d = 11 + 4 = 15,

a5 = a4 + d = 15 + 4 = 19. ◄

Для арифметической прогрессии с первым членом a1 и разностью d её n-й член может быть найден по формуле:

an = a1 + (n – 1)d.

► Например,

найдём тридцатый член арифметической прогрессии

1, 4, 7, 10, . . .

Имеем,

a1 =1,  d = 3,

a30 = a1 + (30 – 1)d =1 + 29·3 = 88. ◄

Так как

an–1 = a1 + (n – 2)d,

an = a1 + (n – 1)d,

an+1 = a1 + nd,

то, очевидно,

то есть,

каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c  являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.

► Например,

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой  an = 2n – 7, является арифметической прогрессией.

Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

an = 2n – 7,

an–1 = 2(n – 1) – 7 = 2n – 9,

an+1 = 2(n + 1) – 7 = 2n – 5.

Следовательно,

an+1 + an–1 = 2n – 5 + 2n – 9= 2n – 7 = an,
22

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n-й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a1, но и любой предыдущий ak, для чего достаточно воспользоваться формулой

an = ak + (n – k)d.

► Например,

для  a5  можно записать

a5 = a1 + 4d,

a5 = a2 + 3d,

a5 = a3 + 2d,

a5 = a4 + d. ◄

Так как

an = an–k + kd,

an = an+k – kd,

то, очевидно,

то есть,

любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.

Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:

am + an = ak + al,

если

m + n = k + l.

► Например,

в арифметической прогрессии  1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

1) a10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a9 + a11)/2;

2) 28 = a10 = a3 + 7d = 7 + 7·3 = 7 + 21 = 28;

3) a10 = 28 = (19 + 37)/2 = (a7 + a13)/2;

4) a2 + a12 = a5 + a9, так как

    a2 + a12 = 4 + 34 = 38,

    a5 + a9 = 13 + 25 = 38. ◄ 

Сумма

Sn = a1 + a2+ a3 + . . .+an,

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены

ak, ak+1,  . . . , an,

то предыдущая формула сохраняет свою структуру:

 Sn – Sk–1 = ak + ak+1 + . . . + an = ak + an · (n – k + 1) .
2

► Например,

в арифметической прогрессии  1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S10 – S3 = (10 + 28) · (10 – 4 + 1)/2 = 133. ◄

Если дана арифметическая прогрессия, то величины  a1,  an,  d,  n  и  Sn  связаны двумя формулами:

 an = a1 + (n – 1)d    и    Sn  = a1 + an · n .
2

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:

  • если d > 0, то она является возрастающей;
  • если d < 0, то она является убывающей;
  • если d = 0, то последовательность будет стационарной.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Иначе,

b1, b2, b3, . . .  , bn, . . .

является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

bn+1 = bn · q,

где q ≠ 0 — некоторое число.

Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:

b2/b1 = b3/b2 = . . . = bn+1/bn = q.

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

► Например,

если  b1 = 1,  q = –3, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

b1 = 1,

b2 = b1 · q = 1 · (–3) = –3,

b3 = b2 · q = –3 · (–3) = 9,

b4 = b3 · q = 9 · (–3) = –27,

b5 = b4 · q = –27 · (–3) = 81. ◄

Для геометрической прогрессии с первым членом  b1 и знаменателем q её n-й член может быть найден по формуле:

bn = b1 · qn–1.

► Например,

найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .

Имеем,

b1 = 1,  q = 2,

b7 = b1 · q6 = 1 · 26 = 64. ◄

Так как

bn–1 = b1 · qn–2,

bn = b1 · qn–1,

bn+1 = b1 · qn,

то, очевидно,

bn2 = bn–1 · bn+1,

то есть,

каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа  a, b и c  являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.

► Например,

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой  bn = –3 · 2n, является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

bn = –3 · 2n,

bn–1 = –3 · 2n–1,

bn+1 = –3 · 2n+1.

Следовательно,

bn2 = (–3 · 2n)2 = (–3 · 2n–1) · (–3 · 2n+1) = bn–1 · bn+1,

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n-й член геометрической прогрессии можно найти не только через b1, но и любой предыдущий член bk, для чего достаточно воспользоваться формулой

bn = bk · qn–k.

► Например,

для  b5  можно записать

b5 = b1 · q4,

b5 = b2 · q3,

b5 = b3 · q2,

b5 = b4 · q. ◄

Так как

bn = bk · qn–k,

bn = bn–k · qk,

то, очевидно,

bn2 = bn–k · bn+k

то есть,

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.

Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:

bm · bn = bk · bl,

если

m + n = k + l.

► Например,

в геометрической прогрессии  1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

1) b62 = 322 = 1024 = 16 · 64 = b5 · b7;

2) 1024 = b11 = b6 · q5 = 32 · 25 = 1024;

3) b62 = 322 = 1024 = 8 · 128 = b4 · b8;

4) b2 · b7 = b4 · b5,  так как

    b2 · b7 = 2 · 64 = 128,

    b4 · b5 = 8 · 16 = 128. ◄ 

Сумма

Sn = b1 + b2 + b3 + . . . + bn

первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0  вычисляется по формуле:

А при q = 1 — по формуле

Sn = nb1

Заметим, что если нужно просуммировать члены

bk, bk+1,  . . . ,bn,

то используется формула:

  Sn – Sk–1  =  bk + bk+1 + . . . + bn  =  bk · 1 – qn–k+1 .
1 – q  

► Например,

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 – 210) / (1 – 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S10 – S6 = 64 · (1 – 210–7+1) / (1 – 2) = 960. ◄

Если дана геометрическая прогрессия, то величины  b1,  bn,  q,  n  и  Sn  связаны двумя формулами:

 bn = b1 · qn–1  и  Sn = b1 · 1 – qn .
1 – q  

Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Для геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности:

  • прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:

b1 > 0  и  q > 1;

b1 < 0  и  0 < q  0  и  0 < q 1.

Если  q

Источник: http://math4school.ru/arifmeticheskaia_i_geometricheskaia_progressii

Алгебра. Урок 6. Прогрессии

Как находить арифметическую прогрессию примеры. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

-уроки на канале Ёжику Понятно.

страницы:

Числовые последовательности

Числовая последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Каждый элемент последовательности имеет свой порядковый номер.

a n = f ( n ) , n ∈ ℕ Примеры числовых последовательностей:

  1. Натуральные числа: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; …
  1. Квадраты натуральных чисел: 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; …
  1. Все целые числа от -3 до 3 : − 3 ; − 2 ; − 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3.

Числа в последовательности могут быть любыми – положительными и отрицательными, целыми и дробными, рациональными и иррациональными.

Так почему же, спросите вы, в определении числовой последовательности есть фраза «функция, заданная на множестве натуральных чисел»? Потому что каждый член последовательности имеет свой порядковый номер (ну а нумеруем мы с единицы).

a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 = 5, …

  1. Квадраты натуральных чисел:

a 1 = 1, a 2 = 4, a 3 = 9, a 4 = 16, a 5 = 25, …

  1. Все целые числа от -3 до 3 :

a 1 = − 3, a 2 = − 2, a 3 = − 1, a 4 = 0, a 5 = 1, a 6 = 2, a 7 = 3.

Последовательности могут быть бесконечными ( 1 и 2 ) и конечными ( 3 ) .

Числовые последовательности можно задавать несколькими способами:

  1. Словесный. Последовательность описывается словами.

Примеры:

  • натуральные числа,
  • квадратуры натуральных чисел,
  • все целые числа от -3 до 3 .
  1. Аналитический. Последовательность задается формулой n-ного члена: a n = f ( n ) . По этой формуле можно найти любой член последовательности.

Примеры:

  • a n = n – последовательность натуральных чисел,
  • a n = n 2 – последовательность квадратов натуральных чисел,
  • a n = n − 4, n ∈ [ 1 ; 7 ] – последовательность целых чисел от -3 до 3 .
  1. Рекуррентный. Последовательность задается формулой, по которой каждый следующий член последовательности находится через предыдущие. В этом случае всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

Примеры:

  • a 1 = 1, a n + 1 = a n + 1 – последовательность натуральных чисел.

Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.

a 1 = 1

n = 1, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 2 = a 1 + 1 = 1 + 1 = 2

n = 2, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 3 = a 2 + 1 = 2 + 1 = 3

n = 3, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 4 = a 3 + 1 = 3 + 1 = 4

n = 4, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 5 = a 4 + 1 = 4 + 1 = 5

и так далее…

  • a 1 = 1, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 – последовательность квадратов натуральных чисел.

Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.

a 1 = 1 ;

n = 1, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 2 = ( a 1 + 1 ) 2 = ( 1 + 1 ) 2 = 2 2 = 4

n = 2, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 3 = ( a 2 + 1 ) 2 = ( 4 + 1 ) 2 = 3 2 = 9

n = 3, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 4 = ( a 3 + 1 ) 2 = ( 9 + 1 ) 2 = 4 2 = 16

n = 4, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 5 = ( a 4 + 1 ) 2 = ( 16 + 1 ) 2 = 5 2 = 25

и так далее…

  • a 1 = − 3, a n + 1 = a n + 1, a n ≤ 3 – последовательность целых чисел от -3 до 3 .

a 1 = − 3 ; a n ≤ 3

a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 2 = a 1 + 1 = − 3 + 1 = − 2 ; − 2 ≤ 3

a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 3 = a 2 + 1 = − 2 + 1 = − 1 ; − 1 ≤ 3

a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 4 = a 3 + 1 = − 1 + 1 = 0 ; 0 ≤ 3

a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 5 = a 4 + 1 = 0 + 1 = 1 ; 1 ≤ 3

a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 6 = a 5 + 1 = 1 + 1 = 2 ; 2 ≤ 3

a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 7 = a 6 + 1 = 2 + 1 = 3 ; 3 ≤ 3

a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 8 = a 7 + 1 = 3 + 1 = 4 ; 4 ≤ 3

Последний член последовательности будет a 7 , так как a 8 не удовлетворяет условию a n ≤ 3

Самая удобная и увлекательная подготовка к ЕГЭ

Как находить арифметическую прогрессию примеры. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

$а_1$ – первый член арифметической прогрессии

$d$ – разность между последующим и текущим членом прогрессии

$d=a_{n+1}-a_n$

$a_n$ – член арифметической прогрессии, стоящий на $n$-ом месте

$n$ – номер места для членов арифметической прогрессии

$S_n$ – сумма первых n членов арифметической прогрессии

Формула для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n={(a_1+a_n)·n}/{2}$

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

$b_1$ – первый член геометрической прогрессии

$q$ – знаменатель геометрической прогрессии, показывает во сколько раз последующее число больше предыдущего.

$q={b_{n+1}}/{b_n}$

$b_n$ – $n$-ый член геометрической прогрессии

$S_n$ – сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии

Формула, для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

$b_n=b_1·q{n-1}$

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n={b_1·(qn-1)}/{q-1},q≠1$

В задачах на прогрессии важно:

  1. Определить тип прогрессии
  2. Верно сопоставить приведенные величины с их обозначением в формулах, записать дано.
  3. Подставить известные данные в формулу и вывести неизвестную величину.

Пример:

Предприниматель Петров получил в $2000$ году прибыль в размере $5000$ рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на $300%$ по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Петров за 2003 год?

Решение:

Для начала посчитаем увеличение прибыли: так как она увеличивалась на $300%$, то $100%+300%=400%$. $400%$ – это то же самое, что увеличение прибыли в $4$ раза.

Данная задача на геометрическую прогрессию, так как прибыль увеличивалась В четыре раза по сравнению с предыдущим годом.

Запишем дано: $b_1=5000$ – первая прибыль

$q=4$ – величина, показывающая, во сколько раз увеличивалась прибыль каждый год

$n=4$, так как с $2000$ по $2003$ прошло $4$ года (т.к. 2000 – 1й год, 2001 – 2й, 2002 – 3й, 2003 -4й)

$b_4-?$ – количество заработанных денег в четвертый год от начала прибыли

Запишем формулу для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

$b_n=b_1·q{n-1}$

Подставим известные величины из дано и найдем $b_4$:

$b_4=5000·43=320000$

Ответ: $320000$

Процент – это сотая доля числа.

Процент обозначается символом $%$.

  1. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на 100 и умножить на величину процента. $%$ от $а={а·%}/{100}$.
  2. Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на $100$.

Задачи на скидки:

Скидка — это понижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.

Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:

  1. Из $100%$ отнять процент скидки.
  2. Найти полученный процент от полной стоимости товара.

Пример:

Зимняя куртка стоит $4500$ рублей. Сезонная скидка составляет $20%$. Сколько надо заплатить за куртку с учетом скидки.

Решение:

Найдем, сколько процентов будет стоить куртка, после скидки: $100%-20%=80%$

Посчитаем, сколько составляет 80% от 4500 рублей. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.

${4500·80}/{100}=3600$ рублей- это цена куртки, после скидки.

Ответ: $3600$

Задачи на смеси и сплавы

В задачах на растворы и сплавы для удобства решения можно делать схему, для каждого раствора в схеме необходимо записать две величины:

  1. Массу или объем, в зависимости от условия задачи;
  2. Процентное содержание чистого вещества в растворе.

Потом, если мы смешиваем составы, для смешанного вещества тоже записываем:

  1. Массу или объем полученной смеси – она равна сумме масс или объемов изначальных растворов.
  2. Процентное содержание чистого вещества в полученной смеси.

Далее составляем уравнение, для этого надо процентное содержание чистого вещества умножить на массу своего раствора, сложить получившиеся величины каждого раствора и все это приравнять к полученной величине смеси.

$m_{1 раствора}·%_{1 вещества}+m_{2 раствора}·%_{2 вещества}=m_{смеси}·%_{смеси}$

Пример:

Смешали $2$ кг $15%$-ного водного раствора некоторого вещества с $8$ кг $10%$-ного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Пусть $х%$ – концентрация получившегося раствора.

Составим к задаче схему.

$1$ раствор Масса – $2$кгПроцентное содержание вещества – $15%$$2$ раствор Масса – $8$кгПроцентное содержание вещества – $10%$
Смесь растворов Масса – $2$кг$+8$кг$=10$кгПроцентное содержание вещества – $х%$

Составим уравнение:

$15%·2+10%·8=х%·10$ Уберем в уравнении знак процента, чтобы он не мешал при расчетах

$15·2+10·8=10·х$

$30+80=10х$

$10х=110$

$х=11%$ – концентрация получившегося раствора.

Ответ: $11$

Задачи на сложные проценты

Формула сложных процентов связывает четыре величины:

  1. $S_0$ – начальный вклад;
  2. $S_n$ – накопленную сумму (будущую стоимость вклада);
  3. $р$ – годовую процентную ставку;
  4. $n$ – время в годах, кварталах или месяцах.

Зная три величины, всегда можно найти четвертую:

$S_n=S_0(1+{p}/{100})n$

Для определения количество процентов $р$ необходимо:

$p=({√n{S_n}/{S_0}}-1)·100$

Операция нахождения первоначального вклада $S_0$, если известно, что через n лет он должен составить сумму $S_n$, называется дисконтированием:

$S_0={S_n}/{(1+{p}/{100})n}$

Сколько лет вклад $S_0$ должен пролежать в банке под $р%$ годовых, чтобы достигнуть величины $S_n$.

$n={ln⁡S_n-ln⁡S_0}/{ln⁡(1+{p}/{100})}$

Пример:

В стране поставили задачу удвоения ВВП за $2$ года. Сколько процентов должен составить рост ВВП за год? (Результат округлите до целого числа.)

Решение:

В данной задаче воспользуемся формулой сложных процентов.

Для определения количество процентов $р$ необходимо:

$p=(√n{{S_n}/{S_0}}-1)·100$

Нам известно, что ВВП увеличилось в два раза, следовательно, ${S_n}/{S_0}=2$

n- это количество лет, следовательно, $n=2$

Подставим известные величины в формулу

$p=(√2{2}-1)∙100$

$√2{2}≈1.41$

$p=(1.41-1)·100=0.41·100=41%$

Ответ: $41$

Пример:

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за $30000$ рублей, через два года он был продан за $21675$ рублей.

Решение:

В данной задаче воспользуемся формулой сложных процентов.

Для определения количество процентов $р$ необходимо:

$p=(√n{{S_n}/{S_0}}-1)·100$

Так как цена на товар не увеличивалась, а уменьшалась, то формулу необходимо изменить

$p=(1-√n{{S_n}/{S_0}})·100$

Подставим известные данные в формулу

$p=(1-√2{{21675}/{30000}})·100=(1-√{0.7225})·100=(1-0.85)·100=15%$

Ответ: $15$

Источник: https://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/zadachi_na_progressii

Как найти арифметическую прогрессию? Арифметическая прогрессия примеры с решением

Как находить арифметическую прогрессию примеры. Арифметическая и геометрическая прогрессии

При изучении алгебры в общеобразовательной школе (9 класс) одной из важных тем является изучение числовых последовательностей, к которым относятся прогрессии -геометрическая и арифметическая. В данной статье рассмотрим арифметическую прогрессию и примеры с решениями.

Что собой представляет арифметическая прогрессия?

Чтобы это понять, необходимо дать определение рассматриваемой прогрессии, а также привести основные формулы, которые далее будут использованы при решении задач.

Арифметическая или алгебраическая прогрессия – это такой набор упорядоченных рациональных чисел, каждый член которого отличается от предыдущего на некоторую постоянную величину. Эта величина называется разностью. То есть, зная любой член упорядоченного ряда чисел и разность, можно восстановить всю арифметическую прогрессию.

Приведем пример. Следующая последовательность чисел будет прогрессией арифметической: 4, 8, 12, 16, …, поскольку разность в этом случае равна 4 (8 – 4 = 12 – 8 = 16 – 12). А вот набор чисел 3, 5, 8, 12, 17 уже нельзя отнести к рассматриваемому виду прогрессии, поскольку разность для него не является постоянной величиной (5 – 3 ≠ 8 – 5 ≠ 12 – 8 ≠ 17 – 12).

Важные формулы

Приведем теперь основные формулы, которые понадобятся для решения задач с использованием арифметической прогрессии. Обозначим символом an n-й член последовательности, где n – целое число. Разность обозначим латинской буквой d. Тогда справедливы следующие выражения:

  1. Для определения значения n-го члена подойдет формула: an = (n-1)*d+a1.
  2. Для определения суммы первых n слагаемых: Sn = (an+a1)*n/2.

Чтобы понять любые примеры арифметической прогрессии с решением в 9 классе, достаточно запомнить эти две формулы, поскольку на их использовании строятся любые задачи рассматриваемого типа. Также следует не забывать, что разность прогрессии определяется по формуле: d = an – an-1.

Далее, в статье приводятся различные примеры применения этих выражений.

Пример №1: нахождение неизвестного члена

Приведем простой пример прогрессии арифметической и формул, которые необходимо использовать для решения.

Пусть дана последовательность 10, 8, 6, 4, …, необходимо в ней найти пять членов.

Из условия задачи уже следует, что первые 4 слагаемых известны. Пятое можно определить двумя способами:

  1. Вычислим для начала разность. Имеем: d = 8 – 10 = -2. Аналогичным образом можно было взять любые два других члена, стоящих рядом друг с другом. Например, d = 4 – 6 = -2. Поскольку известно, что d = an – an-1, тогда d = a5 – a4, откуда получаем: a5 = a4 + d. Подставляем известные значения: a5 = 4 + (-2) = 2.
  2. Второй способ также требует знания разности рассматриваемой прогрессии, поэтому сначала нужно определить ее, как показано выше (d = -2). Зная, что первый член a1 = 10, воспользуемся формулой для n числа последовательности. Имеем: an = (n – 1) * d + a1 = (n – 1) * (-2) + 10 = 12 – 2*n. Подставляя в последнее выражение n = 5, получаем: a5 = 12-2 * 5 = 2.

Как видно, оба способа решения привели к одному и тому же результату. Отметим, что в этом примере разность d прогрессии является отрицательной величиной. Такие последовательности называются убывающими, так как каждый следующий член меньше предыдущего.

Пример №2: разность прогрессии

Теперь усложним немного задачу, приведем пример, как найти разность прогрессии арифметической.

Известно, что в некоторой прогрессии алгебраической 1-й член равен 6, а 7-й член равен 18. Необходимо найти разность и восстановить эту последовательность до 7 члена.

Воспользуемся формулой для определения неизвестного члена: an = (n – 1) * d + a1. Подставим в нее известные данные из условия, то есть числа a1 и a7, имеем: 18 = 6 + 6 * d. Из этого выражения можно легко вычислить разность: d = (18 – 6) /6 = 2. Таким образом, ответили на первую часть задачи.

Чтобы восстановить последовательность до 7 члена, следует воспользоваться определением алгебраической прогрессии, то есть a2 = a1 + d, a3 = a2 + d и так далее. В итоге восстанавливаем всю последовательность: a1 = 6, a2 = 6 + 2=8, a3 = 8 + 2 = 10, a4 = 10 + 2 = 12, a5 = 12 + 2 = 14, a6 = 14 + 2 = 16, a7 = 18.

Пример №3: составление прогрессии

Усложним еще сильнее условие задачи. Теперь необходимо ответить на вопрос, как находить арифметическую прогрессию. Можно привести следующий пример: даны два числа, например, – 4 и 5. Необходимо составить прогрессию алгебраическую так, чтобы между этими помещалось еще три члена.

Прежде чем начинать решать эту задачу, необходимо понять, какое место будут занимать заданные числа в будущей прогрессии. Поскольку между ними будут находиться еще три члена, тогда a1 = -4 и a5 = 5. Установив это, переходим к задаче, которая аналогична предыдущей.

Снова для n-го члена воспользуемся формулой, получим: a5 = a1 + 4 * d. Откуда: d = (a5 – a1)/4 = (5 – (-4)) / 4 = 2,25.

Здесь получили не целое значение разности, однако оно является рациональным числом, поэтому формулы для алгебраической прогрессии остаются теми же самыми.

Теперь добавим найденную разность к a1 и восстановим недостающие члены прогрессии. Получаем: a1 = – 4, a2 = – 4 + 2,25 = – 1,75, a3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a5 = 2,75 + 2,25 = 5, что совпало с условием задачи.

Пример №4: первый член прогрессии

Продолжим приводить примеры арифметической прогрессии с решением. Во всех предыдущих задачах было известно первое число алгебраической прогрессии. Теперь рассмотрим задачу иного типа: пусть даны два числа, где a15 = 50 и a43 = 37. Необходимо найти, с какого числа начинается эта последовательность.

Формулы, которыми пользовались до настоящего времени, предполагают знание a1 и d. В условии задачи об этих числах ничего неизвестно. Тем не менее выпишем выражения для каждого члена, о котором имеется информация: a15 = a1 + 14 * d и a43 = a1 + 42 * d. Получили два уравнения, в которых 2 неизвестные величины (a1 и d). Это означает, что задача сводится к решению системы линейных уравнений.

Указанную систему проще всего решить, если выразить в каждом уравнении a1, а затем сравнить полученные выражения. Первое уравнение: a1 = a15 – 14 * d = 50 – 14 * d; второе уравнение: a1 = a43 – 42 * d = 37 – 42 * d. Приравнивая эти выражения, получим: 50 – 14 * d = 37 – 42 * d, откуда разность d = (37 – 50) / (42 – 14) = – 0,464 (приведены лишь 3 знака точности после запятой).

Зная d, можно воспользоваться любым из 2 приведенных выше выражений для a1. Например, первым: a1 = 50 – 14 * d = 50 – 14 * (- 0,464) = 56,496.

Если возникают сомнения в полученном результате, можно его проверить, например, определить 43 член прогрессии, который задан в условии. Получим: a43 = a1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Небольшая погрешность связана с тем, что при вычислениях использовалось округление до тысячных долей.

Пример №5: сумма

Теперь рассмотрим несколько примеров с решениями на сумму арифметической прогрессии.

Пусть дана числовая прогрессия следующего вида: 1, 2, 3, 4, …,. Как рассчитать сумму 100 этих чисел?

Благодаря развитию компьютерных технологий можно эту задачку решить, то есть последовательно сложить все числа, что вычислительная машина сделает сразу же, как только человек нажмет клавишу Enter.

Однако задачу можно решить в уме, если обратить внимание, что представленный ряд чисел является прогрессией алгебраической, причем ее разность равна 1.

Применяя формулу для суммы, получаем: Sn = n * (a1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Любопытно отметить, что эта задача носит название “гауссовой”, поскольку в начале XVIII века знаменитый немецкий математик Гаусс, еще будучи в возрасте всего 10 лет, смог решить ее в уме за несколько секунд.

Мальчик не знал формулы для суммы алгебраической прогрессии, но он заметил, что если складывать попарно числа, находящиеся на краях последовательности, то получается всегда один результат, то есть 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = …

, а поскольку этих сумм будет ровно 50 (100 / 2), то для получения правильного ответа достаточно умножить 50 на 101.

Пример №6: сумма членов от n до m

Еще одним типичным примером суммы арифметической прогрессии является следующий: дан такой чисел ряд: 3, 7, 11, 15, …, нужно найти, чему будет равна сумма его членов с 8 по 14.

Задача решается двумя способами. Первый из них предполагает нахождение неизвестных членов с 8 по 14, а затем их последовательное суммирование. Поскольку слагаемых немного, то такой способ не является достаточно трудоемким. Тем не менее предлагается решить эту задачу вторым методом, который является более универсальным.

Идея заключается в получении формулы для суммы алгебраической прогрессии между членами m и n, где n > m – целые числа. Выпишем для обоих случаев два выражения для суммы:

  1. Sm = m * (am + a1) / 2.
  2. Sn = n * (an + a1) / 2.

Поскольку n > m, то очевидно, что 2 сумма включает в себя первую. Последнее умозаключение означает, что если взять разность между этими суммами, и добавить к ней член am (в случае взятия разности он вычитается из суммы Sn), то получим необходимый ответ на задачу.

Имеем: Smn = Sn – Sm + am =n * (a1 + an) / 2 – m *(a1 + am)/2 + am = a1 * (n – m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m/2). В это выражение необходимо подставить формулы для an и am.

Тогда получим: Smn = a1 * (n – m) / 2 + n * (a1 + (n – 1) * d) / 2 + (a1 + (m – 1) * d) * (1 – m / 2) = a1 * (n – m + 1) + d * n * (n – 1) / 2 + d *(3 * m – m2 – 2) / 2.

Полученная формула является несколько громоздкой, тем не менее сумма Smn зависит только от n, m, a1 и d. В нашем случае a1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Подставляя эти числа, получим: Smn = 301.

Некоторые советы при решении задач с арифметической прогрессией

Как видно из приведенных решений, все задачи основываются на знании выражения для n-го члена и формулы для суммы набора первых слагаемых. Перед тем как приступить к решению любой из этих задач, рекомендуется внимательно прочитать условие, ясно понять, что требуется найти, и лишь затем приступать к решению.

Еще один совет заключается в стремлении к простоте, то есть если можно ответить на вопрос, не применяя сложные математические выкладки, то необходимо поступать именно так, поскольку в этом случае вероятность допустить ошибку меньше.

Например, в примере арифметической прогрессии с решением №6 можно было бы остановиться на формуле Smn = n * (a1 + an) / 2 – m * (a1 + am) / 2 + am, и разбить общую задачу на отдельные подзадачи (в данном случае сначала найти члены an и am).

Если возникают сомнения в полученном результате, то рекомендуется его проверять, как это было сделано в некоторых приведенных примерах. Как находить арифметическую прогрессию, выяснили. Если разобраться, то это не так сложно.

Источник: https://FB.ru/article/424391/kak-nayti-arifmeticheskuyu-progressiyu-arifmeticheskaya-progressiya-primeryi-s-resheniem

Арифметическая прогрессия, формула суммы элементов, разности, произведения, примеры с решением, чем отличается от геометрической

Как находить арифметическую прогрессию примеры. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Часто, при решении задач, связанных с наблюдениями и присвоением значения определенному событию за определенный промежуток времени, получается ряд чисел, который именуется арифметической прогрессией.

Одна из главных отличительных особенностей такая математическая модель имеет закономерность, по которой можно вычислить любой неизвестный член, что упрощает прогнозирование при вычислении физических ситуаций.

Примерами повседневного использования могут являться наблюдение за температурой воздуха, прогнозирование расходов с занесением результатов в таблицу и др.

Определение и примеры арифметической прогрессии

Это последовательность из чисел, где каждое последующее число ряда (начиная со второго) увеличивается или уменьшается на определенную сумму, являющуюся константой.

Кроме этого для описания используется ряд сопутствующих терминов и определений. Членом (аn) называется единичное число из последовательности.

Разностью (d) называется фиксированное число, на которое увеличивается или уменьшается последующее число прогрессии.

Кроме этого, существуют виды таких рядов:

  • возрастающая – числа ряда увеличиваются по своему значению,
  • убывающая – каждое последующее число ряда уменьшается.

В качестве примера представим последовательность чисел «3, 9, 15, 21, 27». Данный случай – этот ряд чисел попадает под характеристику арифметической прогрессии. Этот вывод делается в том случае, когда разница между членами ряда фиксирована и равняется 6.

Виды арифметической (алгебраической) прогрессии

Разновидности строятся на основании характеристики разности (d), а именно на основании отличия последней от нуля.

Таким образом, можно встретить определенные вариации:

  • разность d&lt,0 – прогрессия будет считаться убывающей, а каждый последующий член будет меньше предыдущего,
  • разность d&gt,0 – это предполагает, что каждый член в ряду будет больше предыдущего, а прогрессию будут называть возрастающей,
  • при d=0 ряд тоже будет иметь свойства прогрессии, которую именуют стационарной, и все члены будут одинаковыми (не будут изменяться).

Если прогрессия не изменяется с каждым шагом на одну и ту же разность, то эта прогрессия непостоянная и арифметической не является.

Важно знать: арифметическая от геометрической отличается тем, что в последней производится увеличение каждого последующего на один и тот же множитель.

Формулы арифметической прогрессии

Одно из важнейших свойств заключается в возможности вычисления любого числа конкретного места ряда.

Чтобы решать это, необходима формула, показывающая, как находится член арифметической прогрессии. В общем виде она будет выглядеть, как значение предыдущего числа в ряду (an-1), к которому прибавляют разность (d):

Также может возникнуть задача, когда надо просуммировать все числа ряда арифметической прогрессии (сумма членов). Если их малое количество, то можно посчитать это вручную, но если количество чисел перевалит за сотню, то проще будет воспользоваться специальной формулой для обработки.

Итак, нам понадобится значение первого числа в ряду (a1) и последнего (an), а также информация об общем количестве чисел в ряду. Рекуррентная формула, показывающая, как искать сумму, будет выглядеть в таком случае следующим образом:

Обратите внимание: под значением n подразумевается именно количество членов ряда, для которых производится нахождение суммы.

Произведение членов арифметической прогрессии можно находить по похожей формуле:

где, Pn – произведение, b1 и bn – соответственно первое и последнее числа, а n – количество членов.

Отдельно следует коснуться такого понятия, как характеристическое свойство прогрессии. Оно сводится к выполнению определенного условия для каждого элемента:

Примеры задач с решением

Рассмотрим как решать задачи на заданную тему.

Пример 1

Требуется вычислить 574 член в ряду арифметической прогрессии, первые три члена которой «8, 15, 22…».

Вариант рассуждений по примеру 1. Для нахождения любого конкретного элемента ряда нам необходима информация о значении первого члена (a1) и о разности (d). Чтобы вычислить разность, вычитаем из второго члена ряда первый (15 – и получаем d = 7. Теперь мы можем считать по формуле:

Подставляя полученные значения, получим выражение вида a574 = 8 + (574-1) * 7.

После вычисления получаем ответ: a574 = 4019.

Пример 2

Требуется вычислить 544 член ряда, являющийся арифметической прогрессией, при условии, что 154-ый член равен 17, а разность (d) равна 8.

Вариант рассуждений по примеру 2. Пользоваться в данной ситуации мы будем формулой из предыдущего примера:

Подставляя известные значения, получаем выражение – а544 = 17 + (544 1) * 8.

Вычисляя, получаем ответ а544 = 4361.

Пример 3

Для подготовки к экзамену по биологии студенту Смирнову необходимо выучить 730 вопросов (включая загадки). Известно, что он весьма обеспокоен и по мере приближения даты экзамена учит ежедневно на 27 вопросов больше, чем в предыдущий день. Друг Смирнова выяснил, что тот в первый день выучил всего 17 вопросов.

Требуется выяснить, сколько времени у студента ушло на подготовку.

Вариант рассуждений по примеру 3. Очевидно, что случай с подготовкой студента к экзамену решается через формулы арифметической прогрессией (поскольку присутствует фиксированная разность d = 17). Производим подстановку известных данных:

После подстановки получаем выражение: 730 = 17 + (n 1) * 27.

После вычислений определяем ответ – 27 дней.

Арифметическая прогрессия является наиболее простой из всех числовых зависимостей. Использование описанных формул позволит намного ускорить вычисления в задачах, где это требуется.

Кроме этого, для упрощения можно использовать онлайн калькулятор. В школе данную тему изучают в программе за 9 класс, а основные задания касаются нахождения членов и сумм.

Источник: https://tvercult.ru/nauka/arifmeticheskaya-algebraicheskaya-progressiya-opredelenie-primeryi-nahozhdeniya-s-resheniem

Юрист ответит
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: