Как найти объем правильной треугольной призмы формула. Все, что нужно знать о призме (2019)

Содержание
  1. Треугольная призма все формулы и примеры задач
  2. Определение
  3. Элементы треугольной призмы
  4. Виды треугольных призм
  5. Прямая треугольная призма
  6. Наклонная треугольная призма
  7. Объем треугольной призмы
  8. Площадь боковой поверхности призмы
  9. Площадь полной поверхности призмы
  10. Пример призмы
  11. Задачи на расчет треугольной призмы
  12. Формулы объемов призм треугольных различных видов
  13. Треугольная призма
  14. Как рассчитывать объем фигуры произвольного типа?
  15. Формула объема треугольной призмы правильной
  16. Объем прямой фигуры с прямоугольным треугольником в основании
  17. Объем правильной фигуры через значение ее диагонали
  18. Все, что нужно знать о призме (2019). Призма определение призмы
  19. Объем правильных призм
  20. Объем прямых призм
  21. Объем наклонных призм
  22. Геометрическая задача на определение объема
  23. Понятие о призме. Формулы объема призм разного типа: правильной, прямой и наклонной. Решение задачи — все о путешествиях на сайт
  24. Что понимают под призмой в геометрии?
  25. Виды фигуры. Наклонная призма
  26. Формула для определения объема фигуры
  27. Пример решения задачи
  28. Сбор и использование персональной информации
  29. Раскрытие информации третьим лицам
  30. Защита персональной информации
  31. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
  32. Все, что нужно знать о призме (2019). Объем призмы
  33. Как выглядит призма
  34. Площадь поверхности и объём
  35. Нахождение элементов призмы
  36. Примеры задач с решениями
  37. Как найти площадь куба
  38. Призма. Все что нужно знать для подготовки к ЕГЭ по математике
  39. Определение призмы
  40. Виды призм
  41. Объем и площадь призмы
  42. Что такое призма
  43. Высота призмы
  44. Прямая призма
  45. Правильная призма
  46. формула объема призмы
  47. Необычная формула объёма призмы
  48. Объем правильной треугольной призмы
  49. Объем правильной четырёхугольной призмы
  50. Объем правильной шестиугольной призмы
  51. Площадь поверхности призмы
  52.  
  53. ПРИЗМА. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
  54. Теперь я хочу услышать тебя!

Треугольная призма все формулы и примеры задач

Как найти объем правильной треугольной призмы формула. Все, что нужно знать о призме (2019)

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы.

Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы.

Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

 Объем призмы = площадь основания х высота

или

V=Sосн . h

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

или

Sбок=Pосн.h 

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

так как Sбок=Pосн.h, то получим:

Sполн.пов.=Pосн.h+2Sосн

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы:

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.

Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см2, то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см3 . Если площадь основания в мм2, то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм3 и т. д.

Пример призмы

В этом примере:— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.

— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро.

Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2  · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение: 

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k2 = S122 = 4S1.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Таким образом, искомый объём равен 20.

Источник: https://novstudent.ru/treugolnaya-prizma-vse-formulyi-i-primeryi-zadach/

Формулы объемов призм треугольных различных видов

Как найти объем правильной треугольной призмы формула. Все, что нужно знать о призме (2019)

Любое твердое тело в трехмерном пространстве обладает некоторым объемом. Вычислением этой характеристики геометрических фигур занимается стереометрия. В данной статье рассмотрим, что такое призма треугольная, и по какой формуле объем призмы треугольной может быть рассчитан.

Треугольная призма

Эта фигура относится к классу призм, поэтому она, как любой представитель этого класса, состоит из двух одинаковых и параллельных оснований и параллелограммов.

Основаниями являются треугольники произвольного типа (равносторонние, равнобедренные, прямоугольные и другие), боковые же стороны могут быть произвольными параллелограммами, ромбами, квадратами и прямоугольниками.

Число боковых сторон равно трем. Рисунок ниже демонстрирует, о какой фигуре пойдет речь.

На этом рисунке мы видим геометрическую фигуру, которая состоит из пяти сторон, девяти ребер и шести вершин. Стороны мы уже охарактеризовали.

Что касается ребер, то любое из них можно отнести к одному из двух типов: либо ребро принадлежит одному из оснований (в этом случае оно является стороной треугольного основания), либо оно образовано пересечением боковых граней (боковое ребро). Важным свойством призмы является равенство всех ее боковых ребер.

Все треугольные призмы классифицируются по двум признакам:

  • прямые и наклонные;
  • правильные и неправильные.

Прямая призма обладает прямоугольными боковыми сторонами. Если ее основания будут равносторонними треугольниками, тогда она будет правильной. Далее мы приведем формулы объема призмы треугольной прямой, правильной фигуры, призмы с прямоугольным треугольником и фигуры наклонной.

Как рассчитывать объем фигуры произвольного типа?

Часть пространства, которая ограничена плоскими сторонами геометрической фигуры, называется ее объемом. В общем случае для призмы абсолютно любого типа справедлива следующая формула для определения ее объема:

V = So × h

Как видно, она очень проста и содержит всего два множителя: So — площадь одного основания, h — высота призмы, то есть дистанция между ее основаниями.

Применительно к треугольной призме произвольной формы (наклонной и неправильной), для вычисления величины So можно воспользоваться универсальной формулой для треугольника:

So = 1 / 2 × ha × a

Здесь a — сторона треугольника, ha — высота треугольника, опущенная на сторону a.

Расчет высоты h призмы можно провести с использованием теоремы Пифагора, если знать длину бокового ребра b и двугранные углы между основанием и боковыми гранями.

Формула объема треугольной призмы правильной

Многогранник, который мы изучаем, будет правильным, если две его грани являются одинаковыми треугольниками равносторонними и три грани — это одинаковые прямоугольники. Формулу для объема такой призмы несложно получить из выражения общего вида, записанного в пункте выше. Чтобы это сделать, рассчитаем сначала площадь основания:

So = 1 / 2 × ha × a = 1 / 2 × √3 / 2 × a × a = √3 / 4 × a2

Значение высоты треугольника ha получено, исходя из того факта, что для равностороннего основания она является также медианой и биссектрисой. Таким образом, площадь So является функцией только одного параметра (стороны a).

Формулу объема для изучаемой призмы можно получить, если умножить на высоту выражение выше:

V = √3 / 4 × a2 × h

Поскольку для рассматриваемой фигуры высота равна длине бокового ребра b, то полученное выражение также можно переписать через параметры a и b.

Объем прямой фигуры с прямоугольным треугольником в основании

Прямоугольный треугольник представляет собой фигуру из трех сторон, две из которых пересекаются под прямым углом. Эти стороны называются катетами. Обозначим их a1 и a2. Третья сторона называется гипотенузой (a3). Из планиметрии известно каждому школьнику, что если взять половину произведения катетов, то можно получить площадь рассматриваемого треугольника, то есть:

So = a1 × a2 / 2

Так как призма является прямой, то достаточно умножить на So длину ее бокового ребра b, чтобы получить объем фигуры:

V = a1 × a2 × b/2

Объем правильной фигуры через значение ее диагонали

Треугольная призма является самой простой фигурой из своего класса, поэтому она обладает всего одним единственным типом диагонали. Это диагонали трех ее параллелограммов.

Предположим, что имеется правильная фигура, диагональ которой равна d (это диагональ прямоугольника), а высота равна h. Как рассчитать ее объем?

Для начала следует определить значение стороны основания a. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

d2 = h2 + a2 =>a = √(d2 — h2)

Тогда формула объема треугольной призмы приобретает вид:

V = √3 / 4 × a2 × h = √3 / 4 × (d2 — h2) × h

В случае правильной призмы объем всегда является функцией двух параметров (h и d в данном выражении).

Источник: Navolne

Источник: https://klevo.net/formuly-obemov-prizm-treugolnyh-razlichnyh-vidov/

Все, что нужно знать о призме (2019). Призма определение призмы

Как найти объем правильной треугольной призмы формула. Все, что нужно знать о призме (2019)

Объем является характеристикой любой фигуры, имеющей ненулевые размеры во всех трех измерениях пространства. В данной статье с точки зрения стереометрии (геометрии пространственных фигур) мы рассмотрим призму и покажем, как находить объемы призм различного вида.

Стереометрия располагает точным ответом на этот вопрос. Под призмой в ней понимают фигуру, образованную двумя многоугольными одинаковыми гранями и несколькими параллелограммами. На рисунке ниже показаны четыре разные призмы.

Каждую из них можно получить следующим образом: необходимо взять многоугольник (треугольник, четырехугольник и так далее) и отрезок определенной длины. Затем каждую вершину многоугольника следует перенести с помощью параллельных отрезков в другую плоскость. В новой плоскости, которая будет параллельна исходной, получится новый многоугольник, аналогичный выбранному изначально.

Призмы могут иметь разный тип. Так, они могут быть прямыми, наклонными и правильными. Если боковое ребро призмы (отрезок, соединяющий вершины оснований) перпендикулярно основаниям фигуры, то последняя является прямой. Соответственно, если это условие не выполняется, то речь идет о наклонной призме. Правильная фигура — это прямая призма с равноугольным и равносторонним основанием.

Объем правильных призм

Начнем с самого простого случая. Приведем формулу объема призмы правильной, имеющей n-угольное основание. Формула объема V для любой фигуры рассматриваемого класса имеет следующий вид:

То есть для определения объема достаточно рассчитать площадь одного из оснований S o и умножить ее на высоту h фигуры.

В случае правильной призмы обозначим длину стороны ее основания буквой a, а высоту, которая равна длине бокового ребра, буквой h. Если основание n-угольник правильный представляет, то для расчета его площади проще всего воспользоваться следующей универсальной формулой:

S n = n/4*a2*ctg(pi/n).

Подставляя в равенство значение числа сторон n и длину одной стороны a, можно вычислить площадь n-угольного основания. Отметим, что функция котангенса здесь вычисляется для угла pi/n, который выражен в радианах.

Учитывая записанное для S n равенство, получаем конечную формулу объема призмы правильной:

V n = n/4*a2*h*ctg(pi/n).

Для каждого конкретного случая можно записать соответствующие формулы для V, но все они однозначно следуют из записанного общего выражения. Например, для четырехугольной призмы правильной, которая в общем случае является прямоугольным параллелепипедом, получаем:

V 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.

Если в этом выражении принять h=a, то мы получаем формулу для объема куба.

Объем прямых призм

Отметим сразу, что для прямых фигур не существует общей формулы для вычисления объема, которая была приведена выше для правильных призм. При нахождении рассматриваемой величины следует использовать исходное выражение:

Здесь h — это длина бокового ребра, как и в предыдущем случае. Что касается площади основания S o , то она может принимать самые разные значения. Задача расчета у прямой призмы объема сводится к нахождению площади ее основания.

Расчет величины S o следует проводить, исходя из особенностей самого основания. Например, если оно является треугольником, тогда площадь вычислить можно так:

Здесь h a — апофема треугольника, то есть его высота, опущенная на основание a.

Если основанием является четырехугольник, то он может быть трапецией, параллелограммом, прямоугольником или иметь совершенно произвольный тип. Для всех названых случаев следует воспользоваться соответствующей формулой планиметрии для определения площади. Например, для трапеции эта формула имеет вид:

S o4 = 1/2*(a 1 + a 2)*h a .

Где h a — высота трапеции, a 1 и a 2 — это длины ее параллельных сторон.

Чтобы определить площадь для многоугольников более высокого порядка, следует разбивать их на простые фигуры (треугольники, четырехугольники) и рассчитывать сумму площадей последних.

Объем наклонных призм

Это самый сложный случай расчета объема призмы. Общая формула для таких фигур также применима:

Тем не менее, к сложности нахождения площади основания, представляющего многоугольник произвольного типа, добавляется проблема определения высоты фигуры. Она в наклонной призме всегда меньше длины бокового ребра.

Проще всего эту высоту найти, если известен какой-либо угол фигуры (плоский или двугранный). Если такой угол дан, тогда следует с его использованием построить внутри призмы прямоугольный треугольник, который бы содержал в качестве одной из сторон высоту h и, пользуясь тригонометрическими функциями и теоремой Пифагора, найти величину h.

Геометрическая задача на определение объема

Дана правильная призма с треугольным основанием, имеющая высоту 14 см и длину стороны 5 см. Чему равен объем треугольной призмы?

Поскольку речь идет о правильной фигуре, то мы вправе воспользоваться известной формулой. Имеем:

V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 см3.

Треугольная призма является достаточно симметричной фигурой, в форме которой часто выполняют разные архитектурные сооружения. Эту призму из стекла используют в оптике.

Понятие о призме. Формулы объема призм разного типа: правильной, прямой и наклонной. Решение задачи — все о путешествиях на сайт

Объем наклонной призмы

Все призмы делятся на прямые и наклонные .

Прямая призма, основанием

которой служит правильный

многоугольник, называется

правильнойпризмой.

Свойства правильной призмы:

1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.3. Боковые ребра правильной призмы равны.

Сечение ПРИЗМЫ.

Ортогональное сечение призмы – это сечение, образованное плоскостью, перпендикулярной к боковому ребру.

Боковая поверхность призмы равна произведению периметра ортогонального сечения на длину бокового ребра.

S б =P орт.сеч C

1. Расстояния между ребрами наклонной

треугольной призмы равны: 2см, 3 см и 4см

Боковая поверхность призмы- 45см2.Найдите ее боковое ребро.

Решение:

В перпендикулярном сечении призмы треугольник, периметр которого 2+3+4=9

Значит боковое ребро равно 45:9=5(см)

Найдите неизвестные элементы

правильной треугольной

Призмы

по элементам, заданным в таблице.

ОТВЕТЫ.

Спасибо за урок.

Домашнее задание.

Умение определять объем пространственных фигур является важным для решения геометрических и практических задач. Одной из таких фигур является призма. Рассмотрим в статье, что она собой представляет, и покажем, как вычислять объем наклонной призмы.

Что понимают под призмой в геометрии?

Речь идет о правильном полиэдре (многограннике), который образован двумя одинаковыми основаниями, находящимися в параллельных плоскостях, и несколькими параллелограммами, соединяющими отмеченные основания.

Основаниями призмы могут быть произвольные многоугольники, например, треугольник, четырехугольник, семиугольник и так далее. Причем число углов (сторон) многоугольника определяет название фигуры.

Любая призма, имеющая в основании n-угольник (n – число сторон), состоит из n+2 граней, 2 × n вершин и 3 × n ребер. Из приведенных чисел видно, что количества элементов призмы соответствуют теореме Эйлера:

3 × n = 2 × n + n + 2 – 2

Ниже рисунок показывает, как выглядят треугольные и четырехугольные призмы, сделанные из стекла.

Виды фигуры. Наклонная призма

Выше уже было сказано, что название призмы определяется числом сторон многоугольника в основании. Однако существуют и другие особенности в ее строении, определяющие свойства фигуры.

Так, если все параллелограммы, образующие боковую поверхность призмы, представлены прямоугольниками или квадратами, то такая фигура называется прямой.

Для расстояние между основаниями равно длине бокового ребра любого прямоугольника.

Если же некоторые или все боковые стороны являются параллелограммами, то речь идет о наклонной призме. Высота ее уже будет меньше, чем длина бокового ребра.

Еще один критерий, по которому проводят классификацию рассматриваемых фигур — это длины сторон и углы многоугольника в основании. Если они равны друг другу, то многоугольник будет правильным.

Прямая фигура с правильным многоугольником в основаниях называется правильной. С ней удобно работать при определении площади поверхности и объема.

Наклонная призма в этом плане представляет некоторые трудности.

На приведенном рисунке показаны две призмы, имеющие четырехугольное основание. Угол 90° показывает принципиальную разницу между прямой и наклонной призмой.

Формула для определения объема фигуры

Часть пространства, ограниченная гранями призмы, называется ее объемом. Для рассматриваемых фигур любого типа эту величину можно определить по следующей формуле:

Здесь символом h обозначена высота призмы, которая является мерой дистанции между двумя основаниями. Символ S o – одного основания площадь.

Площадь основания найти несложно. Учитывая тот факт, является правильным многоугольник или нет, а также зная количество его сторон, следует применить соответствующую формулу и получить S o . Например, для правильного n-угольника с длиной стороны a площадь будет равна:

S n = n / 4 × a 2 × ctg (pi / n)

Теперь перейдем к высоте h. Для прямой призмы определение высоты не представляет никаких трудностей, однако для призмы наклонной – это непростая задача. Решать ее можно различными геометрическими методами, отталкиваясь от конкретных начальных условий. Тем не менее существует универсальный способ определения высоты фигуры. Опишем его кратко.

Идея заключается в нахождении расстояния от точки в пространстве до плоскости. Предположим, что плоскость задана уравнением:

A × x+ B × y + C × z + D = 0

Тогда от точки с координатами (x 1 ; y 1 ; z 1) плоскость будет находиться на расстоянии:

h = |A × x 1 + B × y 1 + C × z 1 + D| / √ (A 2 + B 2 + C 2)

Если координатные оси расположить так, что точка (0; 0; 0) будет лежать в плоскости нижнего основания призмы, тогда уравнение для плоскости основания можно записать так:

Это означает, что формула для высоты запишется так:

Достаточно найти координату z любой точки верхнего основания, чтобы определить высоту фигуры.

Пример решения задачи

На рисунке ниже дана Основанием наклонной призмы является квадрат со стороной 10 см. Необходимо вычислить ее объем, если известно, что длина бокового ребра равна 15 см, а острый угол фронтального параллелограмма равен 70°.

Поскольку высота h фигуры также является высотой параллелограмма, то используем формулы для определения его площади, чтобы найти h. Обозначим стороны параллелограмма так:

Тогда можно записать для него следующие формулы для определения площади S p:

S p = a × b × sin (α);

Откуда получаем:

Здесь α – острый угол параллелограмма. Поскольку основанием является квадрат, то формула объема наклонной призмы примет вид:

V = a 2 × b × sin (α)

Подставляем из условия данные в формулу и получаем ответ: V ≈ 1410 см 3 .

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо – в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ – раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности – включая административные, технические и физические – для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Источник: https://goodlikes.ru/vse-chto-nuzhno-znat-o-prizme-2019-prizma-opredelenie-prizmy/

Все, что нужно знать о призме (2019). Объем призмы

Как найти объем правильной треугольной призмы формула. Все, что нужно знать о призме (2019)

В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела – многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях.

Частным случаем является правильная четырёхугольная призма.

Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры – прямой параллелепипед.

Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело. К ним принято относить:

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение – это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости.

Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов).

Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить – 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Площадь поверхности и объём

Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:

V = Sосн·h

Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a,можно записать формулу в более подробном виде:

V = a²·h

Если речь идёт о кубе – правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:

Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.

Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:

Sбок = Pосн·h

С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a,формула принимает вид:

Sбок = 4a·h

Для куба:

Sбок = 4a²

Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:

Sполн = Sбок + 2Sосн

Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:

Sполн = 4a·h + 2a²

Для площади поверхности куба:

Sполн = 6a²

Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.

Нахождение элементов призмы

Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

  • длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h);
  • длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
  • площадь основания: Sосн = V / h;
  • площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

Sдиаг = ah√2

Для вычисления диагонали призмы используется формула:

dприз = √(2a² + h²)

Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

Примеры задач с решениями

Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

Задание 1.

В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a. В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

V₁ = ha² = 10a²

Для второй коробки длина основания составляет 2a, но неизвестна высота уровня песка:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Поскольку V₁ = V₂, можно приравнять выражения:

10a² = 4ha²

После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

Задание 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения – длина, ширина и высота – равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

Sполн = 6a² = 6·6² = 216


Задание 3.

В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м².

Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

Как найти площадь куба

Объём призмы. Решение задач

Геометрия является самыммогущественным средством для изощрения нашихумственных способностей и дает нам возможностьправильно мыслить и рассуждать.

Г.Галилей

Цель урока:

  • обучить решению задач на вычисление объема призм, обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о призме и ее элементах, формировать умения решать задачи повышенной сложности;
  • развивать логическое мышление, умение самостоятельно работать, навыки взаимоконтроля и самоконтроля, умение говорить и слушать;
  • выработать привычку к постоянной занятости, каким- либо полезным делом, воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности.

Тип урока: урок применения знаний, умений инавыков.

Оборудование: карточки контроля,медиапроектор,презентация “Урок. Объем Призмы”,компьютеры.

Ход урока

  • Боковые ребра призмы (рис 2).
  • Боковую поверхность призмы (рис 2, рис 5).
  • Высоту призмы (рис 3, рис 4).
  • Прямую призму (рис 2,3,4).
  • Наклонную призму (рис 5).
  • Правильную призму (рис 2, рис 3).
  • Диагональное сечение призмы (рис 2).
  • Диагональ призмы (рис 2).
  • Перпендикулярное сечение призмы (ри3, рис4).
  • Площадь боковой поверхности призмы.
  • Площадь полной поверхности призмы.
  • Объем призмы.
    1. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ (8 мин)
    2. Обменяйтесь тетрадями, проверьте решение на слайдах и выставьте отметку (отметка 10 если составлена задача)

      Составьте по рисунку задачу и решите её. Ученик защищает составленную им задачу у доски. Рис 6 и рис 7.

      Глава 2,§3
      Задача.2. Длины всех ребер правильной треугольной призмы равны между собой. Вычислите объем призмы, если площадь ее поверхности равна cм 2 (рис8)

      Глава 2,§3
      Задача 5. Основание прямой призмы АВСА 1В 1С1 есть прямоугольный треугольник АВС (угол АВС=90°), АВ=4см. Вычислите объем призмы, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 2,5см, а высота призмы равна 10см. (рис 9).

      Глава2,§3
      Задача 29.Длина стороны основания правильной четырехугольной призмы равна 3см. Диагональ призмы образует с плоскостью боковой грани угол 30°. Вычислить объем призмы (рис 10).

    3. Совместная работа учителя с классом (2-3мин.).
    4. Цель: подведение итогов теоретической разминки (учащиеся проставляют оценки друг другу), изучение способов решения задач по теме.

    5. ФИЗКУЛЬТМИНУТКА (3 мин)
    6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ (10 мин)
    7. На данном этапе учитель организует фронтальную работу по повторению способов решения планиметрических задач, формул планиметрии. Класс делится на две группы, одни решают задачи, другие работают за компьютером. Затем меняются. Учащимся предлагается решить всем № 8 (устно), № 9 (устно). После делятся на группы и преступают к решению задач № 14, № 30, № 32.

      Глава 2, §3, страница 66-67

      Задача 8. Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Найдите объём призмы, если площадь сечения плоскостью, проходящей через ребро нижнего основания и середину стороны верхнего основания, равна см (рис.11).

      Глава 2,§3, страница 66-67
      Задача 9. основание прямой призмы – квадрат, а ее боковые ребра в два раза больше стороны основания. Вычислите объем призмы, если радиус окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра, равен см. (рис.12)

      Глава 2,§3, страница 66-67
      Задача 14.Основание прямой призмы – ромб, одна из диагоналей которого равна его стороне. Вычислите периметр сечения плоскостью проходящей через большую диагональ нижнего основания, если объем призмы равен и все боковые грани квадраты (рис.13).

      Глава 2,§3, страница 66-67
      Задача 30.АВСА 1 В 1 С 1 –правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой, точка о середина ребра ВВ 1 . Вычислите радиус окружности, вписанной в сечение призмы плоскостью АОС, если объем призмы равен (рис.14).

      Глава 2,§3, страница 66-67
      Задача 32.В правильной четырех угольной призме сумма площадей оснований равна площади боковой поверхности. Вычислите объем призмы, если диаметр окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через две вершины нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания, равен 6 см (рис15).

    Источник: https://lenkom35.ru/payment-for-services/vse-chto-nuzhno-znat-o-prizme-2019-obem-prizmy-reshenie-zadach.html

    Призма. Все что нужно знать для подготовки к ЕГЭ по математике

    Как найти объем правильной треугольной призмы формула. Все, что нужно знать о призме (2019)

    

    Важное замечание!
    Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

    Привет!

    Сейчас я расскажу тебе ВСЕ о призме. Без воды. Только то, что нужно.

    Помни о своей цели! Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так чтобы поступить в ВУЗ мечты!

    Это самый лучший материал в инете.

    Не веришь?

    Посмотри отзывы внизу статьи и ты все поймешь… И, кстати, можешь оставить свои.

    Ладно, хватит болтать – к делу!

    формула объема призмы Необычная формула объёма призмы Объем правильной треугольной призмы Объем правильной четырёхугольной призмы Объем правильной шестиугольной призмы Площадь поверхности призмы А здесь ты можешь скачать весь текст в pdf формате. ПРИЗМА. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Теперь я хочу услышать тебя!

    Определение призмы

    • Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

    Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

    Виды призм

    • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
    • Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
    • Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

    Объем и площадь призмы

    формула объема призмы:

     ,

    где   — площадь основания,

      — высота.

     

    Необычная формула объема призмы:

     ,

    где   – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

      – длина бокового ребра.

    Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

    А теперь подробнее….

    Что такое призма

    Давай ответим сперва картинками:

    Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями. Остальные грани называются боковыми.

    Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

    Рисуем ещё раз:

    А теперь: рёбра.

    Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

    Важно знать, что:

    Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.
    • Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то – четырёхугольной и так далее.
    • Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но , к счастью, не в твоих задачах.
    • А у тебя будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

    Высота призмы

    Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

    И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

    Согласен?

    Прямая призма

    Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

    У прямой призмы:

    • все боковые грани прямоугольники;
    • все сечения проходящие через боковые рёбра – прямоугольники;
    • и даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро – прямоугольники.

    У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

    Правильная призма

    Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

    То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

    Тебе, скорее всего, может встретиться:

    1) Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

    2) Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

    3) Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

    формула объема призмы

      –площадь основания

      – высота

    Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то   «превращается» в боковое ребро. И тогда

    – то же самое, что

    Необычная формула объёма призмы

    Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

      – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

      – длина бокового ребра.

    Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

    Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

    Объем правильной треугольной призмы

    Пусть дано, что сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

    Найдём объём:

    Вспомним, как находить площадь правильного треугольника

    Подставляем в формулу объёма:

     .

    Объем правильной четырёхугольной призмы

    Опять дано: сторона основания равна  , боковое ребро равно  .

    Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

    Значит,  .

    Объем правильной шестиугольной призмы

    Что же такое  ? Как найти?

    Смотри: шестиугольник   состоит из шести одинаковых правильных треугольников.

    Значит:  

    Ну и теперь  .

    Площадь поверхности призмы

    Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

    Есть ли общая формула?

     

    Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

    Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

    Формулу можно написать для прямой призмы:

    Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.

     , где   – периметр основания.

     .

    Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

    Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

    Все боковые грани – прямоугольники. Значит  .

      – это уже выводили при подсчёте объёма.

    Итак, получаем:

     .

    ПРИЗМА. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

    1. Определение

    • Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

    Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

    2. Виды призм:

    • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
    • Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
    • Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

    3. Объем и площадь призмы:

    • формула объема призмы:
       ,
      где   — площадь основания,
        — высота.
    • Необычная формула объема призмы:
       ,
      где   – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
        – длина бокового ребра.
    • Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
       .

    Теперь я хочу услышать тебя!

    Я постаралась сжато, без воды рассказать о том, что такое призма.

    Что тебе понравилось? Что не понравилось?

    Может быть ты нашел ошибку?

    Или знаешь другой хороший материал на эту тему? 

    Источник: https://youclever.org/book/prizma-1

Юрист ответит
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: